Betr. Corona: Exponentielles Wachstum, was ist das eigentlich? Ein bescheidener Erklärungsversuch
- hochgeladen von Helmut Feldhaus
Es darf nicht geschehen, dass die Infektionszahlen exponentiell steigen! Nein, nein, nein! So wird schon seit Beginn der Coronapandemie gepredigt. Aber was ist denn eigentlich exponentielles Wachstum? Hier ein bescheidener Versuch, ein wenig Klarheit bzw. Verständnis für den Begriff zu schaffen.
Zinseszinsrechnung
Fangen wir mit einem Beispiel aus einem ganz anderen Bereich an. Den Deutschen sagte man früher nach, gern zu sparen. Sparbücher wurden zuhauf angelegt. Nicht nur, um Geld auf der hohen Kante zu haben, sondern auch, um das Sparguthaben zu vermehren. Bis vor einigen Jahren gab es nämlich noch Zinsen auf Sparbüchern.
So nehmen wir mal Frau G. an, die 1000 € auf einem Sparbuch anlegte. Das Geldinstitut gewährte ihr 5% Zinsen pro Jahr. Am Jahresende wurden Frau G. 5% von 1000 € = 50 € gutgeschrieben, so dass sie ein Sparguthaben von 1050 € besaß. Am Ende des nächsten Jahres wurden ihr 5% von 1050 € = 52,50 € gutgeschrieben, so dass sie nun über ein Sparguthaben von 1102,50 € verfügte. Im nächsten Jahr wurden dann die 1102,50 € verzinst. In jedem Jahr wächst also ein immer höheres Guthaben um 5%. Am Ende eines Jahres hatte Frau G. 105% des Guthabens vom Beginn des Jahres. Wollte man vorhersagen, auf welchen Betrag das Guthaben der guten Frau G. nach 10 Jahren wohl steigen würde, musste man rechnen
1000 € * 105% * 105% * 105% * 105% * 105 % * 105% * 105% * 105% * 105% * 105 % = 1628,89 €,
kürzer
1000 € * 105% hoch 10 oder 1000 € * 1,05 hoch 10.
Die Anzahl der Jahre, von der das Guthaben abhängt, taucht als Hochzahl, als Exponent auf. Hier scheint schon der Begriff des exponentiellen Wachstums durch.
Wir verallgemeinern jetzt das obige Beispiel aus der Zinseszinsrechnung:
A sei das Anfangskapital, p% der Zinssatz, 100% + p% die Wachstumsrate q, x die Anzahl der Jahre und y das Guthaben nach x Jahren. Dann gilt:
y = A * q hoch x.
Und damit haben wir die fundamentale mathematische Form für ein exponentielles Wachstum.
Schachspielwürdigung
Ein anderes Beispiel ist die Sage um den Erfinder des Schachspiels, der sich vom Herrscher für seine Erfindung etwas wünschen konnte. So wünschte er sich fürs erste Schachfeld ein Reiskorn, fürs zweite Schachfeld zwei Reiskörner, fürs dritte vier Reiskörner, fürs vierte acht Reiskörner usw.. Die Anzahl der Reiskörner sollte sich von Feld zu Feld verdoppeln. Der Herrscher war von der Bescheidenheit des Erfinders beeindruckt, aber nur zunächst, denn schon bald machte sich Entsetzen breit. Er konnte den Wunsch nicht erfüllen. Warum?
Aufs 1.Feld kam 1 Reiskorn, aufs 2.Feld 1 * 2 = 1 * 2 hoch 1 Reiskörner, aufs 3.Feld 1 * 2 * 2 = 1 * 2 hoch 2 Reiskörner, aufs 4.Feld 1 * 2 * 2 * 2 = 1 * 2 hoch 3 Reiskörner usw..
Aufs x-te Feld kommen 1 * 2 hoch (x-1) Reiskörner. Wir sehen - ein exponentielles Wachstum. Bezeichnet man y als die Anzahl der Reiskörner auf dem x-ten Feld, so haben wir die Gleichung
y = 1 * 2 hoch x . Die Wachstumsrate ist 2 oder 200%, die Anfangsgröße ist 1.
Und jetzt schauen wir mal, wie viele Reiskörner allein das 64.Feld hätte abwerfen müssen:
y = 1 * 2 hoch 63 = 9.223.372.037.000.000.000 (gerundet)
Das sind mehr als 9 Quadrillionen Reiskörner. Leider, so erkannte der Herrscher, überstieg diese Zahl die gesamte Welternte bei weitem. Dumm gelaufen!
Wachstum bei den Neuinfektionen
Nehmen wir an, wir hätten 1000 Infizierte an Tag 1, am 2.Tag hätten wir 1050 Neuinfizierte, also 5% mehr. Wenn man jetzt ein exponentielles Wachstum zugrundelegt, geht man von einer Wachstumsrate von 105% = 1,05 aus. Die Zahl der Neuinfizierten würde täglich um 5% zunehmen. Wir erhalten als Berechnungsgrundlage für die befürchteten Neuinfektionszahl y am x-ten Tag die Formel
y = 1000 * 1,05 hoch (x-1).
Am 100.Tag läge die Zahl der Neuinfizierten bei
y = 1000 * 1,05 hoch 99 = 125.239
am 200. Tag schon bei
y = 1000 * 1,05 hoch 199 = 16.469.125,
am 300.Tag bei
y = 1000 * 1,05 hoch 299 = 2.165.710.599
was in Deutschland aus Gründen der geringeren Bevölkerungszahl schon gar nicht möglich wäre.
Jedenfalls erkennt man den rasanten Anstieg bei einem exponentiellen Wachstum.
An der obigen Darstellung lässt sich die Bedeutung des so genannten R-Werts (wie viele Personen ein Infizierter im Durchschnitt ansteckt) erahnen, der nichts anderes als eine Wachstumsrate ist, wenn auch nicht auf einen Tag bezogen, sondern den Zeitraum, während dessen ein Infizierter ansteckend ist.
Was man feststellen kann: Weltweit konnte man ein exponentielles Wachstum verhindern. Besonders gut gelungen ist das Ländern wie Deutschland.
Hilde, "ewig vermaskiert"? Glaube ich nicht aus verschiedenen Gründen:
1. Sukzessive Durchseuchung wird die Immunisierung der Menschheit vorantreiben.
2. Die Medizin wird die medikamentöse Behandlung von Infizierten verbessern.
3. Irgendwann, ist aber angesichts der Erfahrung mit anderen Viruserkrankungen nicht sicher, wird ein wirksamer Impfstoff vorliegen.
Noch etwas zum exponentiellen Wachstum: Liegt die Wachstumsrate permanent unter 1, entwickeln sich die Neuinfektionszahlen immer weiter nach unten und streben schließlich gegen Null. Die Wirklichkeit zeigt aber, dass wir es mit einem dauernden Auf und Ab der Wachstumsrate zu tun haben, so dass unsere Gewissheit allein in der Ungewissheit liegt.